有限数学示例

$f (x) = \log_{\frac{1}{5}} (x)$

解题步骤 1

将 $f (x) = \log_{\frac{1}{5}} (x)$ 写为等式。

$y = \log_{\frac{1}{5}} (x)$

解题步骤 2

交换变量。

$x = \log_{\frac{1}{5}} (y)$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

将方程重写为 $\log_{\frac{1}{5}} (y) = x$ 。

$\log_{\frac{1}{5}} (y) = x$

解题步骤 3.2

使用对数的定义将 $\log_{\frac{1}{5}} (y) = x$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

${(\frac{1}{5})}^{x} = y$

解题步骤 3.3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.3.1

将方程重写为 $y = {(\frac{1}{5})}^{x}$ 。

$y = {(\frac{1}{5})}^{x}$

解题步骤 3.3.2

化简 ${(\frac{1}{5})}^{x}$ 。

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解题步骤 3.3.2.1

对 $\frac{1}{5}$ 运用乘积法则。

$y = \frac{1^{x}}{5^{x}}$

解题步骤 3.3.2.2

一的任意次幂都为一。

$y = \frac{1}{5^{x}}$

解题步骤 4

使用 $f^{- 1} (x)$ 替换 $y$ ，以得到最终答案。

$f^{- 1} (x) = \frac{1}{5^{x}}$

解题步骤 5

验证 $f^{- 1} (x) = \frac{1}{5^{x}}$ 是否为 $f (x) = \log_{\frac{1}{5}} (x)$ 的反函数。

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解题步骤 5.1

要验证反函数，请检查 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 是否成立。

解题步骤 5.2

计算 $f^{- 1} (f (x))$ 。

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解题步骤 5.2.1

建立复合结果函数。

$f^{- 1} (f (x))$

解题步骤 5.2.2

通过将 $f$ 的值代入 $f^{- 1}$ 来计算 $f^{- 1} (\log_{\frac{1}{5}} (x))$ 。

$f^{- 1} (\log_{\frac{1}{5}} (x)) = \frac{1}{5^{\log_{\frac{1}{5}} (x)}}$

解题步骤 5.3

计算 $f (f^{- 1} (x))$ 。

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解题步骤 5.3.1

建立复合结果函数。

$f (f^{- 1} (x))$

解题步骤 5.3.2

通过将 $f^{- 1}$ 的值代入 $f$ 来计算 $f (\frac{1}{5^{x}})$ 。

$f (\frac{1}{5^{x}}) = \log_{\frac{1}{5}} (\frac{1}{5^{x}})$

解题步骤 5.4

由于 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ ，因此 $f^{- 1} (x) = \frac{1}{5^{x}}$ 为 $f (x) = \log_{\frac{1}{5}} (x)$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = \frac{1}{5^{x}}$

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